[프로젝트1-25] 3차원 꼬리날개 분석

 

 

 

NAVION 수평 꼬리 날개 분석

 

 

 

주 날개의 에일러론과 플랩은 저번 글에서 다루었습니다.

이제 같은 방식으로 꼬리날개를 분석해 보도록 하겠습니다.

 

수평꼬리날개의 에어포일(Airfoil)은 NACA0012를 사용합니다.

그런대 책에 2차원 양력선 기울기 등의 데이터가 없습니다.

 

이럴 경우에 XFLR5를 통해서 구해주면 됩니다.

 

 

12.  XFLR5를 통한 에어포일 공력 분석

XFLR5로 양력계수등 공력계수를 뽑는 방법은 간단히 영상으로 대체하겠습니다.

 

 

XFLR5로 공력데이터 뽑기

 

그림 18 : NACA0012  CL vs angle of attack

그림 18는 XFLR5로 뽑은 NACA0012 에어포일의 CL(양력계수) vs Angle of attack(받음각)의

그래프입니다. 이 데이터는 이 비행기의 레이놀즈수인 8,000,000에 해당합니다.

받음각은 0도에서 15도까지 수행했으나 10도 이상에서 난류가 발생하여 10도까지 데이터를

이용해서 1차함수 즉 라인 피팅을 해주었습니다.

 

동그라미는 위의 동영상을 통해서 뽑은 공력데이터이고

빨간선은 선형회귀분석을 통해서 만든 1차함수입니다.

 

MATLAB 코드

---------------------------------------------------------------------------------

alpha = 0:0.5:10;

CL_80_6=[ 0.0000, 0.0567, 0.1131, 0.1699, 0.2262, 0.2829, 0.3388, 0.3951, 0.4512, 0.5071, 0.5630, 0.6183, 0.6740, 0.7291, 0.7835, 0.8379, 0.8907, 0.9444, 0.9977, 1.0582, 1.1181, 1.1775, 1.2359, 1.2804, 1.3275, 1.3770, 1.4262, 1.4747,1.5215, 1.5658, 1.6082]';

 

x = alpha;
y = CL_80_6(1,1:21);
polyfit(x,y,1);

plot(x,y,'o',x,f,'-') 
legend('data','linear fit')

-------------------------------------------------------------------------------------

물론 제가 선형회귀분석 코드를 짜야하지만 너무 귀찮아서 매트랩 내장함수를 사용했습니다.

polyfit(x,y)함수를 사용하면 x값에 받음각, y값에 CL 데이터를 넣어주면

1차함수로 만들어줍니다. 참쉽죠 ㅋㅋ(대학원에서 이렇게 하면 엄청 혼나겠지만...)

 

 

결과적으로 양력선 기울기는 0.111/deg가 나왔습니다.

이론상으로 레이놀즈수가 바뀌어도 양력선 기울기는 바뀌지 않습니다만

데이터의 평균을 이어 직선을 만드는 과정에서 오차는 발생합니다.

따라서 조금씩 값은 바뀌지만 95%의 정확도를 가지고 있기에 넘어갔습니다.

 

그리고 만약 MATLAB를 배우지 않으신분들과 선형회귀분석등 수치해석을 

잘 알지 못하셔도 크게 상관없습니다.

XFLR5에서 뽑은 데이터를 엑셀에 넣어 함수를 만드는 방법도 있고

아니면 XFLR5에 나오는 그래프를 10도까지 끈어서 나름대로 기울기를 제봐도 무방할 것같습니다.

 

 

13.  수평 꼬리날개 도식적 특징 추출

 

 

그림 19 : NASA 보고서의 수평꼬리날개 특징

 

$$\lambda =\frac { { { C }_{ t } } }{ { { C }_{ r } } } =0.67$$

(75)

NASA보고서에 테이퍼비(Taper ratio)가 0.67이라고 나옵니다.

식 75는 이를 나타냅니다.

${ { C }_{ t } }=0.67{ { C }_{ r } }$

(76)

식 75를 정리했습니다.

$$\frac { { { S }_{ w } } }{ 2 } =\frac { \left( { { C }_{ r } }+{ { C }_{ t } } \right) \times \left( b/2 \right)  }{ 2 } =43f { { t }^{ 2 } }$$

(77)

반쪽 짜리 수평꼬리날개의 면적 공식입니다.

식 76과 77를 열립하여 ${ C }_{ t }$ ,${ C }_{ r }$를 구해줍니다.

 

${ C }_{ t }\quad =\quad 2.62ft$

${ C }_{ r }\quad =\quad 3.913ft$

 

그럼 위와 같이 나오게 됩니다.

주날개 구할때랑 비슷합니다.

 

그림 20 : NAVION 수평 꼬리날개

그럼 위의 그림 20처럼 사다리꼴 형태의 미익이 나오게 되며

날개끝에 NAVION과 비슷하게 Winglet을 만들어주었습니다.

 

우리는 주날개와 마찬가지로 사다리꼴 형태의 미익을 분석할 것입니다.따라서 Winglet부분의 면적손실등 공력특성의 변화는 무시합니다.

 

 

14.  3차원 수평 꼬리날개 양력선 기울기 구하기

 

그림 21 : mid sweep angle

root chord의 반절과 tip chord의 반절을 이은 선과 수직선간의 각도

이게 mid sweep angle입니다.

 

${ { \Lambda  }_{ c/2 } }=0.393deg$

(78)

0.393도가 나왔습니다.

 

바로 3차원 양력선 기울기를 구해봅시다.

 

$${ { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }=\frac { 2\pi A }{ 2+\sqrt { \frac { { { A }^{ 2 } }{ { \beta  }^{ 2 } } }{ { { \kappa  }^{ 2 } } } \left( 1+\frac { { { \tan   }^{ 2 } }\left( { { \Lambda  }_{ c/2 } } \right)  }{ { { \beta  }^{ 2 } } }  \right) +4 }  } (/rad)$$

(79)

 

$\beta =\sqrt { 1-M_{ \infty  }^{ 2 } }$

(80)

프란델의 아음속 계수는 주날개와 같습니다.

$$\kappa =\frac { { { c }_{ { { l }_{ \alpha  } } } } }{ 2\pi  }$$

(81)

 

 

$\kappa$는 2차원 lift effectiveness와 이론값의 비입니다.

2차원 양력선 기울기는 위에서 구했습니다. 0.111/deg

라디안으로 변환하면 6.3598/rad입니다.

이를 2pi와 나누면

$\kappa$=1.0122 입니다.

 

표. 8 마하수에 따른 수평 꼬리날개의 양력선 기울기 

${ M }_{ \infty  }=0.01$	${ M }_{ \infty  }=0.1$	${ M }_{ \infty  }=0.2$
$\beta=0.999$	$\beta=0.995$	$\beta=0.980$
${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=3.9113\quad (/rad)$	${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=3.9199\quad (/rad)$	${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=3.9524\quad (/rad)$

 

 

 

15.  3차원 수평 꼬리날개 양력이 발생하지 않는 받음각 구하기

다음은 0양력 받음각을 구해봅시다.

 

$${{\alpha }_{{{0}_{\,Htail}}}}=\frac{2}{{{S}_{w}}}\int\limits_{0}^{b/2}{\left( {{\alpha }_{0}}\left( y \right)-\varepsilon \left( y \right) \right)c\left( y \right)dy}$$

(82)

NACA0012는 대칭형 에어포일이기때문에 2차원 0양력 받음각은 0도입니다.

(※ 비틀림이 없음으로 twist angle=incidence angle)은 -3도와 0도 두개로 수행해보겠습니다.

왜냐면 NASA보고서에서 원래 incidence angle이 0도인데 -3도로 실험했다고 했기에

한번 확인해보기위해서 두개다 비교해봅시다.

 

$${ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ \, Htail } } } }=\frac { 2 }{ 43 } \int _{ 0 }^{ 6.58 }{ \left( 0-\left( -3deg \right)  \right) \left( 3.913-0.1965y \right) dy } $$

(83)

1. 주익과 같은 방식으로 span에 따른 Chord 함수를 만들어 넣습니다.

2. 수평꼬리날개의 면적은 $43{ ft }^{ 2 }$입니다..

3. span의 길이는 6.58ft입니다.

 

$${ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ \, Htail } } } }=2.9991deg$$

(84)

incidence angle이 -3도일때 거의 +3도 정도에서 날개의 양력이 0인것을 확인했습니다.

 

$${ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ \, Htail} } } }=0.9997deg$$

(85)

incidence angle이 0도일때 거의 +1도 정도에서 날개의 양력이 0인것을 확인했습니다.

 

 

16.  3차원 수평 꼬리날개 평균 공력 시위(MAC)와 그 위치 찾기

$$\overline{c}=\frac{2}{{{S}_{w}}}\int\limits_{0}^{b/2}{{{c}^{2}}dy}=\frac{2}{43}\int\limits_{0}^{6.58}{{{\left( 3.913-0.1965y \right)}^{2}}dy}$$

(86)

주 날개와 같은 함수를 사용해서 풀어줍니다.

(식23과 같음)

$$\overline{c}=3.3082ft$$

(87)

 

 

그림 22 : leading edge sweep angle 기울기

 

$${ { x }_{ LE } }\left( y \right) =0.1052y$$

(88)

 

$${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }=\frac { 2 }{ 43 } \int  _{ 0 }^{ 6.58 }{ 0.1052y\left( 3.913-0.1965y \right) dy }$$

(89)

 

$${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }=0.323ft$$

(90)

 

 

$${ { X }_{ A{ { C }_{ Htail } } } }=\, { { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }+0.25\overline { c } =1.1501ft$$

(91)

 

$${ { Y }_{ MAC } }=\frac { 2 }{ 43 } \int _{ 0 }^{ 6.58 }{ y\left( 3.913-0.1965y \right) dy =3.0721ft}$$

(92)

 

 

표. 8 수평 꼬리날개의 평균 공력 시위(MAC)와 공력중심의 위치

${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }$	${ { Y }_{ MAC } }$	${ { X }_{ A{ { C }_{ Htail } } } }$
$\, { 0 }{ .323 }ft$	$3.0721ft$	$1.1501ft$

 

17.  수평 꼬리날개 피칭모멘트 계수

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }=\frac { 2 }{ 43\times 3.3082 } \left( \begin{matrix} -\int  _{ 0 }^{ 6.58 }{ 0.111\left( 2.999+\left( 0.1052y \right) -0 \right)  } \\ \left( \left( 0.9782+0.0561y \right) -1.1501 \right) \left( 3.913-0.1965y \right) dy \\  \end{matrix} \right) \tag{93} \\$$

 

NACA0012는 대칭형 에어포일이라  ${ c }_{ { m }_{ 0 } }$는 0입니다.

따라서 식 33의 앞부분 적분은 0이라 뒷부분 적분만 해주면 됩니다.

그리고 이 피칭모멘트 계수는 수평꼬리날개의 incidence angle을 -3도로 두고 계산하였습니다.

즉, 식 84를 대입하였습니다.

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }= -0.00097$$

(94)

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }=\frac { 2 }{ 43\times 3.3082 } \left( \begin{matrix} -\int  _{ 0 }^{ 6.58 }{ 0.111\left( 0.999+\left( 0.1052y \right) -0 \right)  } \\ \left( \left( 0.9782+0.0561y \right) -1.1501 \right) \left( 3.913-0.1965y \right) dy \\  \end{matrix} \right) \tag{95} \\$$

 

이번엔 수평꼬리날개의 incidence angle을 0도로 두고 계산하였습니다.

즉, 식 85를 대입하였습니다.

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }= -0.00085$$

(96)

날개의 피칭모멘트값은 -0.908이였는데 

수평꼬리날개는 incidence angle을 -3도를 넣든 0도를 넣든

값이 매우 작은 것을 확인했습니다.

 

아마도 이런 결과가 수평꼬리날개나 수직꼬리날개에 대칭형 에어포일을 사용하는 이유일 수 있을 것 같습니다. 

 

 

18.  수평 꼬리날개의 엘리베이터 특징들

 

$$\frac { { { c }_{ f } } }{ c } =0.35$$

(97)

 

 

그림 23 : NASA보고서의 엘리베이터 면적

엘리베이터 면적은 14.1${ ft }^{ 2 }$임으로 이에 맞는 식 97 값을 알아내야합니다.

노가다성이 강하지만 일일히 식 97값을 조절해가며 찾았더니

0.35로 하면 15${ ft }^{ 2 }$가 나왔습니다. 0.9정도 차이가 나지만 

이는 구조상의 문제로 빠지는 면적으로 생각했습니다.

 

 

그림 24 : 수평 꼬리날개의 엘리베이터 면적 손실

 

그림 24를 보시면 수평 꼬리날개의 엘리베이터가 수직 꼬리날개와 결합되면서

일부 면적이 손실되게 되는 것을 확인 하실 수 있습니다.

 

그림 25 : 수평 꼬리날개와 엘리베이터

그림 25를 보시면 날개 가운데에 엘리베이터가 없는 부분이 있습니다.

이는 앞서 말씀드렸듯이 수직 꼬리날개와 결합되는 부분이며

이부분의 면적이 0.9정도되어 NASA 보고서의 엘리베이터 면적과 같도록 했습니다.

그리고 winglet으로 인한 면적 손실은 무시했습니다.

 

그림 26 : 엘리베이터 특징들

 

엘리베이터의 계수들을 뽑는 과정은 플랩의 계수를 뽑는 과정과 거의 똑같습니다.

그냥 플랩인데 꼬리쪽에 달려서 플랩을 내리면 양력 증가 , 플랩을 올리면 양력 감소를 유발하고 이는 곳 CG까지 모멘트 암이 되어 비행기 전체의 피칭(Pitching) 기동을 제어하는 것입니다.

 

 

 

19.  수평 꼬리날개의 엘리베이터 양력 효과

자세한 사항은 아래 글을 참고하세요.

" [프로젝트1-23] NAVION 보고서 4 " →https://jj-center.tistory.com/53

 

플랩이나 엘레베이터나 거의 똑같습니다. 

저번에 구하는 방법과 같은 방법으로 구하시면 되고이름만 구별하기 위해서 조금씩 바꿔줍니다.

 

$${ { C }_{ { { L }_{ \delta E } } } }=\frac { 2 }{ S } \int  _{ { { \eta  }_{ i } } }^{ { { \eta  }_{ o } } }{ { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } }\left( y \right) c\left( y \right) dy }$$

(98)

 

NAVION 보고서 4의 식 50과 같은 식이지만 구별하기 위해서 Flap의 F를 Elevator의 E로 바꾸어 표현 했습니다.

 

 

 

NAVION 보고서 4의 그림 11을 보면 ${{C}_{{{l}_{\delta }}}}\left( theory \right)$값은 약 4.7(/rad)이 나옵니다.

 

$$\frac { { { C }_{ { { l }_{ \alpha  } } } } }{ { { C }_{ { { l }_{ \alpha  } } } }\left( theory \right)  } =\frac { 0.111/{ deg } }{ 2\pi (/{ rad }) } \times \frac { 180{ (deg) } }{ \pi { (rad) } } ={ 1 }{ .0122 }$$

(99)

식 99를 그림 12에 대입하면 식 100을 찾을 수 있습니다.

 

 

$$\frac { { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } } }{ { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } }\left( theory \right)  } (Elevator) = 1$$

(100)

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } }\left( Elevator \right) =\frac { 1 }{ \beta  } \left( \frac { { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } } }{ { { \left. { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } } \right|  }_{ theory } } }  \right) { { \left. { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } } \right|  }_{ theory } } \\  & =\frac { 1 }{ 0.98 } \left( 1 \right) \left( 4.7/rad \right)  \\  & ={ 4 }{ .7959( }/rad)=0.0837\left( /deg \right)  \\  &  \end{align}$$

(101)

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { L }_{ \delta E } } } }(Elevator)=\frac { 2 }{ S } \int  _{ { { \eta  }_{ i } } }^{ { { \eta  }_{ o } } }{ { { C }_{ { { l }_{ \delta  } } } }\left( y \right) c\left( y \right) dy } \\  & =\frac { 2 }{ 43f{ { t }^{ 2 } } } \int  _{ 0.357ft }^{ 6.58ft }{ 4.7959\left( /rad \right) \left( 3.913-0.1965y \right)  }dy \\  & =4.4857\left( /rad \right)  \\  &  \end{align}$$

(102)

 

20.  수평 꼬리날개의 엘리베이터 피칭 모멘트 효과

 

주 날개의 플랩의 피칭 모멘트 효과와 같은 방식으로 엘리베이터의 피칭 모멘트를 구해봅시다.

" [프로젝트1-23] NAVION 보고서 5 " →https://jj-center.tistory.com/54

 

 

여기까지 따라오신 분들을 위해서 첨언합니다.

 비행기를 쉽게 만들 수 있을까요?

쉽다는 것은 무엇일까요?

그 기준은 어디에 있는 것일까요?

 

영어로 된 다른 사이트나 유튜브를 찾아보시면 

모든 해석과정을 생략하고 무게 대비 날개 면적과 모터 스펙등을

말하면서 이러이러하게 만들면 된다...

이렇게 말하고 있습니다.

 

사실은 그렇게 간단하지 않습니다.

저는 단언하건데 제가 쓰고 있는 이 글이 

2020년도 현재에 가장 간단하고 가장 정확하고 쉽다고 생각합니다.

 

여기에 명확히 나오는 수식들은 MATLAB이나 PYTHON과 같은 프로그램으로

계산하면 금방 구할 수 있는 것들입니다.

 

이 과정을 빨리하여 우리의 자작 rc비행기의 움직임을 확인하는 것이

비행기 설계에 바른 길입니다.

 

좀 더 쉬운거 없나?

더 빠른 방법없나?

 

단언합니다!

없습니다.

 

 

$${ { C }_{ { { M }_{ \delta E } } } }=\frac { 2 }{ (43f{ { t }^{ 2 } })\left(3.3082ft \right)  } \left( \begin{align}  & \int  _{ 0.357ft }^{ 6.58ft }{ -0.62\left( /rad \right) { { \left( 3.913-0.1965y \right)  }^{ 2 } }dy } \\  & -\int  _{ 0.357ft }^{ 6.58ft }{ 4.7959\left( /rad \right) \left( \left( 0.9782+0.0561y \right) -1.1501 \right) \left( 3.913-0.1965y \right) dy } \\  &  \end{align} \right) \tag{103} \\$$

 

$${ { C }_{ { { M }_{ \delta E } } } }=-0.5732(/rad)$$

(104)

 

 

 

$${ { \alpha  }_{ \delta  } }\left( Flap \right) \triangleq \frac { { { C }_{ { { L }_{ \delta E } } } } }{ { { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } } } =\frac { 4.4857/rad }{ 3.9524/rad } =1.1349$$

(105)

 

 

표. 9 엘리베이터 각도에 따른 계수들

엘리베이터 각도 : 10 (deg)	엘리베이터 각도 : 20 (deg)	엘리베이터 각도 : 30 (deg)
$$\Delta { { C }_{ { { d }_{ flap } } } }=0.016$$	$$\Delta { { C }_{ { { d }_{ flap } } } }=0.046$$	$$\Delta { { C }_{ { { d }_{ flap } } } }=0.105$$
$$\frac { \Delta { { c }_{ { { d }_{ flap } } } } }{ \Delta { { \delta  }_{ flap } } } ={ 0 }{ .0917 }/rad$$	$$\frac { \Delta { { c }_{ { { d }_{ flap } } } } }{ \Delta { { \delta  }_{ flap } } } ={ 0 }{ .1318 }/rad$$	$$\frac { \Delta { { c }_{ { { d }_{ flap } } } } }{ \Delta { { \delta  }_{ flap } } } ={ 0 }{ .2005 }/rad$$
$${ { C }_{ { { D }_{ \delta E } } } }=0.0858/rad$$	$${ { C }_{ { { D }_{ \delta E } } } }=0.1233/rad$$	$${ { C }_{ { { D }_{ \delta E } } } }=0.1875/rad$$

 

 

여기까지 수평꼬리날개 해석을 마무리하겠습니다.