[프로젝트1-22] 3차원 날개 해석 3

 

 

 

 

 

저도 그렇고 대부분의 사람들도 

아마 이런 수식만 가득한 글을 읽는 것이 고통스러울 것입니다.

하지만 이 수식들은 여러 책의 내용 중 핵심만을 정확하게 전달하기 위해서 쓰이고 있습니다.

어떤 사람에게는 이 글이 절실할태니까요!

 

 

 

8.  날개 피칭 모멘트 계수 (Wing pitching moment coefficient), ${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }$

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }=\frac { 2 }{ S\overline { c }  } \left( \begin{align}  & \int _{ 0 }^{ b/2 }{ { { c }_{ { { m }_{ ac } } } }\left( y \right) { { c }^{ 2 } }\left( y \right) dy }  \\  & -\int _{ 0 }^{ b/2 }{ { { c }_{ { { l }_{ \alpha  } } } }\left( y \right) \left( { { \alpha  }_{ { { 0 }_{ Wing } } } }+\varepsilon \left( y \right) -{ { \alpha  }_{ 0 } }\left( y \right)  \right) \left( { { x }_{ ac } }\left( y \right) -{ { X }_{ ac } } \right) c\left( y \right) dy }  \\  &  \end{align} \right) \tag{33} \\$$

 

(${ { c }_{ { { m }_{ ac } } } }$는 airfoil의 피칭 모멘트 계수,  ${ { c }_{ { { l }_{ \alpha  } } } }$는 airfoil의 양력선 기울기,  ${ { x }_{ ac } }\left( y \right)$는 y축에서부터 공력 중심까지 거리를 나타낸 함수,  ${ { X }_{ ac } }={ { X }_{ A{ { C }_{ Wing } } } }$는 X축 날개 공력중심 위치)

 

피칭 모멘트가 무엇이고 공력 중심이 무엇인가?

쉽게 생각하면 공력 중심은 피칭 모멘트가 변하지 않는 점이고 피칭 모멘트는 날개 Y축으로 회전하려는 힘입니다. 따라서 공력 중심이 아니고서 우리는 손으로 계산하여 피칭 모멘트를 계산할 수 없습니다.

 

근대 지금은 이런 게 있고 이를 통해서 날개에 작용하는 모멘트를 알 수 있구나.. 정도로 넘어가도록 하겠습니다.

 

$${ { x }_{ ac } }={ { x }_{ LE } }\left( y \right) +0.25c\left( y \right)$$

(34)

 

$$\begin{matrix} { { x }_{ ac } }= & 0.0524y+0.25\left( 7.1545-0.1971y \right)  \\ {  } & =1.7886-0.0031y \\  &  \end{matrix}$$

(35)

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }=\frac { 2 }{ 184\times 5.6715 } \left( \begin{align}  & \int  _{ 0 }^{ 16.7 }{ -0.098{ { \left( 7.1545-0.1971y \right)  }^{ 2 } }dy } \\  & -\int  _{ 0 }^{ 16.7 }{ 0.105\left( -4.95+\left( 2-\frac { 2 }{ 16.7 } y \right) -(-4.3) \right)  } \\  & \left( \left( 1.7886-0.0031y \right) -1.8137 \right) \left( 7.1545-0.1971y \right) dy \\  &  \end{align} \right) \tag{36} \\$$

(${ { c }_{ { { m }_{ ac } } } }$은 span에 따라 상수이며 무차원계수입니다. 그리고 보통 음수입니다.)

 

지금으로써 식이 부족해서 다설명할 수는 없으나 물리적 이해를 돕기 위해 첨언합니다.

비행기의 머리가 하늘로 올라갔을 때 피칭 모멘트가 +값을 가지는데

이를 가만히 놔두어도 다시 복원하려고 해야 합니다. (이때 피칭 모멘트 계수가 -값을 가져야 함)

만약 피칭 모멘트가 +가 돼버리면 한 바퀴 돌아버리고 비행기는 복원하지 못하고

수평상태로 돌아올 수 없게 됩니다.

 

$${ { C }_{ { { M }_{ AC } } } }=-0.0908$$

(37)

 

 

 

 

9. 상반각 효과(Wing dihedral effect)와 2도의 받음각과 옆 미끄러워짐각을 가질 때 롤링 모멘트 계수

 

$${ { C }_{ { { L }_{ Roll } } } }={ { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }\left( { { \alpha  }_{ Wing } }-{ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ Wing } } } } \right) \frac { { { Y }_{ MAC } } }{ b } \left( -\sin  2{ { \Lambda  }_{ LE } }\sin  2\beta  \right) $$

(38)

식 38은 날개의 뒷젖침각(Sweep angle)과 옆 미끄러워짐각(Sideslip)이 존재하기 때문에 생기는 

롤링 모멘트 계수입니다.

 

 

$${ { C }_{ { { L }_{ Roll } } } }=-\Gamma { { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }\beta \frac { { { Y }_{ MAC } } }{ b } $$

(39)

식 39는 날개의 상반각에 옆 미끄러워짐각(Sideslip)으로 바람이 불어올 때 생기는 롤링 모멘트입니다.

 

따라서 식 38과 식 39를 더하면 특정 받음각과 옆 미끄러워짐각에서 날개의 롤링 모멘트를 알 수 있습니다.

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { L }_{ Roll } } } }=(4.468/rad)\left( (2+4.95)\left( \frac { \pi (rad) }{ 180(deg) }  \right)  \right) \frac { \left( 7.5179ft \right)  }{ (33.4ft) } \left( -\sin  2(3)\sin  2(2) \right)  \\  & \, \, =0.00089 \\  &  \end{align} \tag{40} \\ $$

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { L }_{ Roll } } } }=-7.5\left( \frac { \pi  }{ 180 }  \right) \left( 4.468/red \right) (2\left( \frac { \pi  }{ 180 }  \right) )\frac { 7.5179 }{ 33.4 }  \\  & \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =\, \, -0.0046 \\  &  \end{align}$$

(41)

식 38과 39는 식 40과 41의 방법으로 풀어주시면 됩니다.

 

뒷젖침각은 약 3도이고 상반각은 7.5도라서 상반각에 의한

롤링 모멘트의 영향이 더 큰 것을 보실 수 있습니다.

그리고 뒷젖침각에 의한 롤링 모멘트 계수는 양수이고

상반각에 의한 롤링모멘트 계수가 음수인 것으로 보아

뒷젖침각은 롤링 모멘트를 더 강하게 하고 

상반각은 롤링모멘트를 더 줄여주는 것을 확인하실 수 있습니다.

 

 

$${ { C }_{ { { L }_{ Roll } } } }=-0.0037$$

(42)

식 42는 식 40과 41을 더한 값으로 받음각 2도 옆 미끄러워짐각 2도 일 때

날개의 롤링 모멘트 계수는 -0.0037 정도를 확인하실 수 있습니다.

지금은 이런 값들이 체감이 되지 않지만 나중에 시뮬레이션할 때 

육안으로 이 값들의 비교를 확인해 보실 수 있습니다.

 

 

 

10. 받음각 2도 일때 항력계수, ${{C}_{D}}$

 

$${ { C }_{ { { D }_{ Wing } } } }={ { C }_{ { { D }_{ P } } } }+{ { C }_{ { { D }_{ I } } } }$$

(43)

 

 

항력은 크게 유해 항력과 유도 항력이 있습니다.

유해 항력은 마찰 항력과 압력 항력을 포함합니다.

 

마찰 항력은 날개를 지나는 공기의 마찰력 때문에 발생합니다.

압력 항력은 날개의 공기가 부드럽게 지나가지 않을 때 발생합니다.

즉 turbulent (난류) 흐름에 의해서 발생합니다.

우리는 날개가 충분히 매끈하여 난류가 발생하지 않는다고 가정할 것입니다.

따라서 유해 항력 중 마찰 항력만을 고려할 것입니다.

커버링 필름 미끈 매끈하잖아요 ㅋㅋ

 

 

$${ { C }_{ { { D }_{ P } } } }\approx { { C }_{ { { D }_{ f } } } }={ { C }_{ f } }\left( 1+2\left( \frac { t }{ c }  \right) +100{ { \left( \frac { t }{ c }  \right)  }^{ 4 } } \right) \frac { { { S }_{ wet } } }{ S } $$

(44)

식 44는 날개의 마찰 항력 계수를 구하는 공식입니다.

 

${{C}_{{{D}_{f}}}}$는 스킨 마찰력 계수입니다.

이는 공기의 마하수와 레이놀즈 수에 비례합니다.

$$\frac{t}{c}$$

는 날개 Airfoil의 두께 비율입니다.

${{S}_{wet}}$는 전체 날개 중 공기에 노출되어 있는 면적입니다.

 

 

$${ { C }_{ I } }=\frac { C_{ L }^{ 2 } }{ \pi Ae }$$

(45)

식45는 유도 항력 계수 공식입니다.

$A$는 Aspect ratio이고 $e$는 Oswald’s span-efficient factor $\left( 0<e<1 \right)$입니다.

 

$${ { R }_{ l } }=\frac { \rho Vl }{ \mu  }$$

(46)

식 46은 레이놀즈 수 공식입니다.

$\mu $는 공기의 점성 계수입니다.

$l$은 날개기준에서 Chord 길이이며 특성 길이입니다.

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { D }_{ P } } } }\approx { { C }_{ { { D }_{ f } } } }=0.0031\left( 1+2\left( 0.15 \right) +100{ { \left( 0.15 \right)  }^{ 4 } } \right) 2 \\  & =0.0084 \\  &  \end{align}$$

(47)

${{S}_{wet}}$는 보통 planform 면적에 2배를 하여 사용합니다. 

하지만 정확히 하기 위해서는 CATIA를 통해 면적을 계산해 봐야합니다.

 

마하 0.2일 때 ${ { C }_{ f } }$는 0.0031입니다.

이는 modern flight dynamics 책 fig.5.31을 참고하였습니다.

 

 

그림 5 : 날개 스킨 마찰 계수 (Wing skin friction coefficient)

 

https://aerotoolbox.com/skin-friction/

Turbulent Skin Friction Coefficient | AeroToolbox

※ 위 사이트에서 그림5를 기반한 마찰 계수 계산기가 있습니다.

마하수와 레이놀즈 수는 알고 계셔야합니다.

 

 

$${ { C }_{ I } }=\frac { { { \left( 4.468(2+4.95)\left( \frac { \pi  }{ 180 }  \right)  \right)  }^{ 2 } } }{ 3.14(6.06)(0.9) } =0.0171$$

(48)

아래 그림 5에서 확인할 수 있듯이 우리의 $e$값은 약0.9입니다.

 

 

그림 6 : osweld's efficiency factor

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ D } }={ { C }_{ { { D }_{ P } } } }+{ { C }_{ { { D }_{ I } } } }=0.0084+0.0171 \\  & \, \, \, \, \, \, \, \, =0.0255 \\  &  \end{align}$$

(49)

따라서 날개가 받음각 2도일 때 항력계수는 0.0255입니다.

 

 

 

표4는 NAVION 설계 보고서 1~3차까지를 모두 정리한 것입니다.

결국 우리가 앞선 과정을 통해서 알고자 하는 내용을 정리한 것입니다.

자신이 어떤 비행기를 창조하겠다! 아니면 특정 비행기를 분석해보겠다!

한다면.. 날개에 대하여 최소한 이정도의 값들은 알고 있어야합니다.

 

난 엄청난 비행기를 만들거야! 세상에 없는 새로운 비행기를 만들거야!

이런 꿈이 있으신 분들이라면 기존의 비행기를 자세히 들여다봐야합니다.

 

제가 이 사이트를 운영하는 목적이 비록 대학교와 대학원의 공부를 정리하려는 것도 있지만

저와 같은 비행기를 만들고자 하는 꿈을 가진 분들에게 전하고 싶었습니다.

 

일단 따라오시고 더 쉽게 접근하는 방법도 알려드릴태니 

이 사이트를 즐겨찾기에 추가하셔서

여유있으실때 한번씩 찾아와주시면

큰 도움이 되시리라 자부합니다.

 

 

 

 

표.4 3차원 날개 분석 결과

날개면적	${{S}_{W}}$	184ft
Root Chord 길이	${{C}_{r}}$	7.1545ft
Tip Chord 길이	${{C}_{t}}$	3.8635ft
Wing span	$b$	33.4ft
Aspect ratio	$A$	6.06
Taper ratio	$\lambda $	0.54
양력선 기울기 (마하 0.2)	${{C}_{{{L}_{\alpha }}}}$	4.468(/rad)
0양력 받음각	${{\alpha }_{{{0}_{Wing}}}}$	-4.95deg
Mean aerodynamic chord	$\overline{c}$	5.6715ft
MAC X축 위치	${{X}_{A{{C}_{Wing}}}}$	1.8137ft
MAC Y축 위치	${{Y}_{MAC}}$	7.5179ft
날개 피칭 모멘트 계수	${{C}_{{{M}_{AC}}}}$	-0.0908
날개 항력 계수 (받음각 2도)	${{C}_{D}}$	0.0255
레이놀즈 수 (마하 0.2)	${{R}_{l}}$	$8.04\times {{10}^{6}}$
공기밀도	$\rho $	0.002376$sl/f{{t}^{3}}$
음속	$a$	1116 (fps)
속도	$V$	223.2 (fps)
공기 점성계수	$\mu $	$3.74\times { { 10 }^{ -7 } }\left( lb\times s/f{ { t }^{ 2 } } \right) $