[프로젝트1-20] 3차원 날개 해석

 

안녕하세요 정진센터입니다.

NAVION 설계 보고서를 작성 중에 있습니다.

작성하는 내내 스스로 검증하고 고민하며 정확하게 설계 및 해석을 하려고 노력하고 있습니다.

내용이 다소 어려울 수 있으니

처음에는 가볍게 읽으시고 짬 나는 시간을 이용하셔서 

제 글을 검증하며 읽어 주시면 스스로 비행기를 설계하거나 이해하는데

큰 도움이 되시리라 생각합니다. 

 

 

우선 NAVION 스케일기가 아닌 실제 NAVION을 먼저 분석하고 추후에

이를 scale 다운하여 올리겠습니다.

어차피 RC 비행기나 실제 비행기나 설계과정은 똑같습니다.

임무가 달라서 설계를 달리하는 것일 뿐이죠

 

이제 시작하겠습니다.

 

 

 

 

 

NAVION 날개 분석

 

NAVION의 parameter들을 확인할 수 있는 방법은 2가지가 존재합니다.

[1] 첫번째는 2013년판 Modern flight dynmaics에 나오는 값이고 [2] 두 번째는 1970년대 NASA의 보고서에 나오는 값을 확인하는 것입니다.

저는 NASA의 보고서 값이( 숫자 반올림 등으로) 불안정하여 첫번째의 값을 주로 채택하였습니다.

다만, Taper ratio는 참고하였습니다.

그리고 진행하기 앞서서 미리 밝혀야 할 사항은 우리가 분석하는 날개는 winglet이 포함되지 않습니다.

하지만 실제 모델링과 제작에서는 winglet도 포함할 것입니다.

아쉽지만 winglet을 포함한 날개의 선형화는 CFD가 불가피함으로,

우리는 최대한 근사하게 선형화하는 것에 목표를 둘 것입니다.

( ※XFLR5로 해석할 수 있으나 선형화는 불가능 )

 

 

1.  3차원 날개 정의

 

그림 1 : NAVION 오른쪽 날개

( ※ $b$ : span ,  ${S}_{w}$ : 위에서 본 주 날개 면적(platform area)  ,  ${ \Lambda  }_{ LE }$ : y축과 날개 앞전 간의 각도 : sweep angle  ,  ${C}_{r}$ : 동체 쪽 날개 단면(airfoil) 시위 : root chord  ,  ${C}_{t}$ : 익단쪽 시위 : tip chord  )

 

 

$$\frac {b}{2}=16.7ft$$

(1)

 

$$\frac { { { S }_{ w } } }{ 2 } =92f { { t }^{ 2 } }$$

(2)

 

$$\lambda =\frac { { { C }_{ t } } }{ { { C }_{ r } } } =0.54$$

(3)

 

식 1과 2는 Modern flight dynamics의 값을 사용했고 식 3은 NASA의 보고서를 참고했습니다.

알고 있는 값들을 통해서 비행기의 특징들을 파악해봅시다.

 

아직 ${C}_{r}$ 과 ${C}_{t}$값을 모르기 때문에 다음의 방식으로 찾아냈습니다.

 

 

 

 

$$\frac { { { S }_{ w } } }{ 2 } =\frac { \left( { { C }_{ r } }+{ { C }_{ t } } \right) \times \left( b/2 \right)  }{ 2 } =92f { { t }^{ 2 } }$$

(4)

 

$${ { C }_{ r } }+{ { C }_{ t } }=11.018$$

(5)

식 4는 날개 면적을 사다리꼴 넓이 공식을 이용해서 만들었고

 식 5는 식 4를 정리한 것입니다.

 

${ { C }_{ t } }=0.54{ { C }_{ r } }$

(6)

식 6은 식 3 즉, 테이 퍼비 식을 정리한 것입니다.

식 6을 식 5에 대입하면 다음의 값을 알 수 있습니다.

간단하죠? ㅎㅎ

 

${{C}_{r}}=7.1545ft$

(7)

 

${{C}_{t}}=3.8635ft$

(8)

이렇게 Root, Tip의 시위(Chord) 길이를 알아냈습니다.

 

 

 

 

2.  3차원 날개 조건

 

 

표. 1  분석 전 주어진 조건과 가정(쉬운 해석을 위한)

1. 날개 앞전(Leading edge)과 뒷전(Trailing edge)은 직선이다.
2. 앞전 (Leading edge)의 뒷젖침각 (Sweep angle)	${{\Lambda }_{LE}}=3\deg $
3. 테이 퍼비 (Taper ratio)	$\lambda =0.54$
4. 동체 쪽 시위 길이 (Root chord length)	${{C}_{r}}=7.1545ft$
5. 날개 Y축 길이 (Span)	$b=33.4ft$
6. 날개 뒷틀림각은 Span을 따라 선형 분포	${ { \varepsilon  }_{ r } }=2\, ,\, \, { { \varepsilon  }_{ t } }=-1$
7. 상반각 (dihedral angle)	$\Gamma =7.5\deg $
8. 익형(airfoil)은 Span을 따라 같음	NACA4415

(※ 생각해보니 dihedral angle도 NASA보고서 참고했습니다 )

 

 

3차원 날개를 손으로 해석하려면 위의 가정들이 필요합니다.

만약 span을 따라 airfoil이 다르다면 손으로 절대로 해석할 수 없습니다.ㅠㅠ원래 NAVION도 Root, Tip의 airfoil이 다르지만 제 능력 밖이라 과감히 포기했습니다 ㅋㅋ

흔히 우리가 접하는 RC 비행기들은 거의 같은 익형을 사용합니다.

RC비행기 설계하시는 분들도 아마 그렇게까지 하기엔 장비와 인력이 부족한 것 같습니다. 

 

이제 본격적으로 날개의 특징들을 살펴봅시다!

 

 

 

 

3.  위에서 본 날개 면적${S}_{w}$(Planform area)과 날개 가로세로 비$A$(Aspect ratio)

 

 

 

$$c\left( y \right) ={ { C }_{ r } }+\frac { \left( { { C }_{ t } }-{ { C }_{ r } } \right)  }{ \left( b/2 \right)  } y$$

(9)

 

$$c\left( y \right) =7.1545-0.1971y$$

(10)

 

식 9는 Span을 따라 chord길이의 변화를 알 수 있는 함수입니다.

그리고 식 10은 위의 조건들을  대입한 값입니다.

 

$${ { S }_{ w } }=2\int _{ 0 }^{ 16.7 }{ c\left( y \right) dy=2\int _{ 0 }^{ 16.7 }{ \left( 7.1545-0.1971y \right) dy }  } \approx 184f{ { t }^{ 2 } }$$

(11)

 

식 11은 날개의 면적을 알 수 있는 공식입니다.

위의 적분은 간단한 적분이니까!

손으로도 충분히 가능하겠죠? ㅎ

 

$$A=\frac { { { b }^{ 2 } } }{ { { S }_{ w } } } =\frac { { { 33.4 }^{ 2 } } }{ 184 } \approx 6.06$$

(12)

날개의 가로세로 비(Aspect ratio)는 양력에 중요한 영향을 줍니다.

뒷젖침각(Sweep angle)과 테이퍼비(taper ratio)가 있는 날개는 위의 공식으로 구할 수 있습니다.

 

 

4.  모든 시위(Chord) 중앙을 지나는 선의 뒷젖침각(Sweep angle)

 

 

그림 2 : 모든 시위 중앙을 지나는 선의 뒷젖침각(${ \Lambda }_{ c/2 }$)

 

 

그림 2가 복잡해 보이네요...

죄송합니다. ㅠㅠ

하지만 단순합니다.

그냥 위의 가운데 직선은 익형시위(Airfoil chord)의 중간에 점을 이은 선이라고 생각하시면 됩니다.

그리고 그 선과 y축의 각도가 바로${\Lambda }_{c/2}$입니다.

 

근대 이걸 왜 구해?

무슨 수학놀이도 아니고... 그러실 수 있습니다.

이 값을 구하는 이유는 앞으로 나올 양력선 기울기를 구하기 위해서입니다.

 

 

${ { \Lambda  }_{ c/2 } }=2.639$

(13)

그림 2의 시위 중앙을 잇는 선과 y축간의 각도는 tan의 공식을 이용해서 구하면 됩니다.

 

5.  양력선 기울기(Wing lift effectiveness) ${{C}_{{{L}_{\alpha }}}}$ (마하(Mach) 0.2 기준)

 

$${ { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }=\frac { 2\pi A }{ 2+\sqrt { \frac { { { A }^{ 2 } }{ { \beta  }^{ 2 } } }{ { { \kappa  }^{ 2 } } } \left( 1+\frac { { { \tan   }^{ 2 } }\left( { { \Lambda  }_{ c/2 } } \right)  }{ { { \beta  }^{ 2 } } }  \right) +4 }  } (/rad)$$

(14)

( $A$는 aspect ratio, $\beta$ 는 Prandtl-Glauert subsonic compressibility factor,

$\kappa$는 2차원 lift effectiveness와 이론값의 비)

 

식 13이 여기서 사용되네요 ㅋㅋ

 

식 14에서

$A$는 익숙하시죠? 

날개의 가로세로 비입니다.

여기서 들어가기 때문에 식 12에서 계산했던 것이죠.

 

$\beta$는 생소하시죠?

흔히 프란델 계수라고 부르는데

이는 아음속 압축성 계수로서 

소리 속도를 넘지 않는 모든 비행기에서 사용 가능합니다.

 

$\kappa$는 진짜 모르시겠죠?

보통 대칭형 2D airfoil은 $2\pi$(/rad)의 양력선 기울기를 가지고 있습니다.

우리가 사용하는 NACA4415는 4자리 숫자 중 앞의 두 자리가 00이 아님으로 

대칭형 airfoil이 아닙니다. 따라서 양력선 기울기가 변하게 됨으로 그 비율을

$\kappa$라는 무차원 계수로 만든 것입니다.

 

 

$\beta =\sqrt { 1-M_{ \infty  }^{ 2 } }$

(15)

프란델 아음속 압축성 계수는 비행기의 속도와 음속의 비율인 마하로 알 수 있습니다.

우리는 일단 NAVION의 스케일 버전이 아닌 실제 NAVION으로 분석 중임으로 

0.2를 기준으로 하겠습니다.

$$\kappa =\frac { { { c }_{ { { l }_{ \alpha  } } } } }{ 2\pi  }$$

(16)

위의 설명과 같습니다.

( ※대 소문자로 2D인지 3D인지 구분합니다. )

 

${ { c }_{ { { l }_{ \alpha  } } } }$는 modern flight dynamics에 나오며(0.105(/deg)),

 XFLR5 프로그램으로 2D airfoil의 양력선 기울기를 구할 수도 있습니다.

 

 

Wing lift effectiveness는 쉽게 말해 받음각(angle of attack)에 따른 양력 계수(lift coefficient)의 기울기이다.

그럼 받음각만 안다면 어떤 받음각에서 양력 계수가 몇일지 예측할 수 있습니다!!

이게 바로 선형화의 기본이자 근본입니다.

 

 

표. 2  마하 수(Mach number)에 따른 양력선 기울기 변화

${ M }_{ \infty  }=0.01$	${ M }_{ \infty  }=0.1$	${ M }_{ \infty  }=0.2$
$\beta=0.999$	$\beta=0.995$	$\beta=0.980$
${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=4.405\quad (/rad)$	${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=4.420\quad (/rad)$	${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=4.468\quad (/rad)$

( ※ $\kappa$는 마하(Mach)에 영향을 받지 않음)

 

표 2가 어떻게 보이시나요?

${ C }_{ { L }_{ \alpha  } } \approx  4.4 (/rad)$

위의 마하에 따른 양력선 기울기 (${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }$)는 속도의 엄청난 차이에도 불구하고

변화가 적은 것을 확인했습니다.

참고로 Modern flight dynamics에서는 Root, Tip의 익형(Airfoil)이 달랐음에도 불구하고

${ C }_{ { L }_{ \alpha  } }=4.4(/rad)$이었습니다.

 

이를 통해 알 수 있는 것은 받음각의 변화가 크지 않다면 양력선 기울기는 대략 4.4/rad이라고 생각하면 될 것 같습니다.

( ※ NAVION의 속도는 약 마하 0.15입니다.)

 

 

 

다음 편 : https://jj-center.tistory.com/51