[프로젝트1-21] 3차원 날개 해석 2

 

1차에 이어서 계속하겠습니다.

 

 

 

 

6.  날개에서 양력이 발생하지 않는 특정 받음각 (Wing zero-lift angle of attack), $${ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ \, Wing } } } }$$

 

비행기를 이해하려면 항상 기준이 필요합니다.

그리고 그 기준으로 부터 생각을 넓혀가는 것이 바람직합니다.

따라서 3차원 날개에서 양력이 발생하지 않는 받음각이 몇 도인지 알아야 추후

비행기 선형화를 진행할 수 있고 정확한 분석을 할 수 있습니다. 

 

$${{\alpha }_{{{0}_{\,Wing}}}}=\frac{2}{{{S}_{w}}}\int\limits_{0}^{b/2}{\left( {{\alpha }_{0}}\left( y \right)-\varepsilon \left( y \right) \right)c\left( y \right)dy}$$

(17)

식 17은 주익에서 양력이 발생하지 않는 받음각을 알려주는 함수입니다.

 

 

$$\varepsilon \left( y \right) ={ { \varepsilon  }_{ r } }+\frac { \left( { { \varepsilon  }_{ t } }-{ { \varepsilon  }_{ r } } \right)  }{ (b/2) } y\, ,\, \, \, \left( { { \varepsilon  }_{ t } }<0\, ,\, { { \varepsilon  }_{ r } }>0 \right)$$

(18)

($\varepsilon $는 twist angle, ${{\alpha }_{0}}$는 2D airfoil의 양력이 발생하지 않는 받음각 )

 

그림 3 : 선형 뒤틀림각(Twist angle) 방정식

Root에서 Tip까지 날개의 붙임각(Incidence angle)이 선형적으로 변한다면

그림 3과 같은 방식으로 간단하게 Span에 따른 $\varepsilon $ 식을 만들 수 있습니다.

 

NAVION은 ${ \varepsilon  }_{ r }$이 +2도이고 ${ \varepsilon  }_{ t }$이 -1도로 선형적으로

각도가 변함으로 위의 식을 사용할 수 있습니다.

( ※ 사실 선형적으로 변하지 않는 비행기 찾기가 더힘듬 ㅋ)

 

${{\alpha }_{0}}\left( y \right)\,\,\,=\,\,\,-4.3\deg $

(19)

${{\alpha }_{0}}$는 Modern flight dynamics에서 찾을 수 있었습니다.

만약 본인이 사용하려는 익형(Airfoil)의 ${{\alpha }_{0}}$값을 찾을 수 없다면

XFLR5 프로그램을 통해서 구하실 수 있습니다.

 

$$\varepsilon \left( y \right)\,\,\,=\,\,2-\frac{3}{16.7}y$$

(20)

그림 3을 통해 식 20이 나왔습니다.

 

 

 

$${{\alpha }_{{{0}_{\,Wing}}}}=\frac{2}{184}\int\limits_{0}^{16.7}{\left( -4.3-\left( 2-\frac{3}{16.7}y \right) \right)\left( 7.1545-0.1971y \right)dy}$$

(21)

식 17에 식19,10을 넣으면 위 식과 같습니다.

 

${{\alpha }_{{{0}_{\,Wing}}}}=-4.95\deg $

(22)

식 21의 계산 결과는 식 22입니다.

이 식의 물리적 의미는 비행기의 받음각이 약 -5도 일때 주익에서 양력이 발생하지않는 다는 것입니다.

 

7.  평균 공력 시위 (Mean aerodynamic chord)와 그 정확한 위치

 

비행기를 좋아하는 사람이라면 심심치 않게 MAC이라는 말을 들어보셨을 것입니다.

 

이는 평균 공력 시위를 의미하는데 이 길이와 이 위치는 

날개의 정확한 공력중심을 예측하는데 사용하고

각종 모멘트와 힘, 안정성 등을 해석하는데 기준이 됩니다.

 

대충 이정도로 알고 평균 공력 시위의 길이는 얼마나 되고 정확한 X축 Y축 위치를 알아봅시다.

 

$$\overline{c}=\frac{2}{{{S}_{w}}}\int\limits_{0}^{b/2}{{{c}^{2}}dy}=\frac{2}{184}\int\limits_{0}^{16.7}{{{\left( 7.1545-0.1971y \right)}^{2}}dy}$$

(23)

식 23은 평균공력시위의 길이를 알 수 있는 함수입니다.

 

$\overline{c}=5.6715ft$

(24)

계산 결과는 식 24입니다. 

대충 날개 가운데 쯤 위치하겠네요.

 

$${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }=\frac { 2 }{ S } \int  _{ 0 }^{ b/2 }{ { { x }_{ LE } }\left( y \right) c\left( y \right) dy }$$

(25)

식 25는 Y축에서부터 X축길이로 평균 공력 시위 (MAC)가 위치한 곳의 앞전(Leading edge)까지의 거리입니다.

 

그림 4 : ${ x }_{ LE }(y)$ 구하기

식 25를 풀기위해서 ${ x }_{ LE }(y)$를 구해야합니다.

이는 y축으로부터 MAC까지 X축길이를 Span의 함수로 나타낸것입니다.

 

$${ { x }_{ LE } }\left( y \right) =\frac { \sigma { { C }_{ t } } }{ b/2 } y$$

(26)

${ \sigma { { C }_{ t } } }$는 그림 4의 0.8752ft에 해당하는 부분의 길이를 의미합니다.

딱히 시그마가 큰 역할을 한다기 보다는 그냥 구별하려고 쓰는 것 같습니다.

 

$${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }=\frac { 2 }{ 184 } \int  _{ 0 }^{ 16.7 }{ 0.0524y\left( 7.1545-0.1971y \right) dy }$$

(27)

 

${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }=\, { 0 }{ .3958 }ft$

(28)

계산 과정은 식 27이며 계산 결과는 식 28입니다.

 

$${ { X }_{ A{ { C }_{ Wing } } } }=\, { { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }+0.25\overline { c } =1.8137ft$$

(29)

지금까지 구한 값들을 통해서 X축으로 날개의 공력중심은 식 29처럼 구할 수 있습니다.

0.25를 곱한 MAC의 의미는 공력중심을 의미합니다.

 

NACA 시리즈 익형(Airfoil)은 시위의 25%에 공력중심이 위치하고

거의 모든 익형들이 25%를 크게 벗어나지 않습니다. 

 

지금까지 구한 값들은 좌표상에서 공력중심의 위치를 표기한 것입니다.

 

$${ { Y }_{ MAC } }=\frac { 2 }{ S } \int  _{ 0 }^{ b/2 }{ yc\left( y \right) dy }$$

(30)

MAC의 Y축 위치는 식 30과 같이 비교적으로 간단합니다.

 

$${ { Y }_{ MAC } }=\frac { 2 }{ 184 } \int _{ 0 }^{ 16.7 }{ y\left( 7.1545-0.1971y \right) dy }$$

(31)

 

$${ { Y }_{ MAC } }=7.5179ft$$

(32)

이런 식으로 Y축의 MAC 위치도 알 수 있습니다.

날개 공력중심의 위치라해도 맞겠네요.

 

 

표. 3 주익의 평균 공력 시위(MAC)와 공력중심의 위치

${ { X }_{ L{ { E }_{ MAC } } } }$	${ { Y }_{ MAC } }$	${ { X }_{ A{ { C }_{ Wing } } } }$
$\, { 0 }{ .3958 }ft$	$7.5179ft$	$1.8137ft$

 

 

오늘은 여기까지