[프로젝트 1-31] 비행기 트림 조건 찾기 2

2.  안정 직선 비행의 분석 - 세로 트림 분석 (Longitudinal Trim analysis)

 

프로젝트1-29에서 하던거 이어서 하겠습니다.

 

$$\begin{align}  & { { \left. { { C }_{ D } } \right|  }_{ \alpha =\beta ={ { i }_{ H } }={ { \delta  }_{ E } }={ { \delta  }_{ R } }=0 } } \\  & ={ { C }_{ { { D }_{ 0 } } } }+\frac { 1 }{ \pi { { A }_{ W } }{ { e }_{ W } } } \left( C_{ { { L }_{ W } } }^{ 2 }+C_{ { { L }_{ H } } }^{ 2 }\frac { { { A }_{ W } }{ { e }_{ W } } }{ { { A }_{ H } }{ { e }_{ H } } } \frac { { { q }_{ H } } }{ { { q }_{ \infty  } } } \frac { { { S }_{ H } } }{ { { S }_{ W } } }  \right)  \\  & =\left( { { C }_{ { { D }_{ { { 0 }_{ W } } } } } }+{ { C }_{ { { D }_{ F } } } }\frac { { { S }_{ F } } }{ { { S }_{ W } } } +{ { C }_{ { { D }_{ { { 0 }_{ H } } } } } }\frac { { { q }_{ H } } }{ { { q }_{ \infty  } } } \frac { { { S }_{ H } } }{ { { S }_{ W } } } +{ { C }_{ { { D }_{ { { 0 }_{ V } } } } } }\frac { { { q }_{ H } } }{ { { q }_{ \infty  } } } \frac { { { S }_{ V } } }{ { { S }_{ W } } }  \right) +\frac { 1 }{ \pi { { A }_{ W } }{ { e }_{ W } } } \left( C_{ { { L }_{ W } } }^{ 2 }+C_{ { { L }_{ H } } }^{ 2 }\frac { { { A }_{ W } }{ { e }_{ W } } }{ { { A }_{ H } }{ { e }_{ H } } } \frac { { { q }_{ H } } }{ { { q }_{ \infty  } } } \frac { { { S }_{ H } } }{ { { S }_{ W } } }  \right)  \\  & =\left( 0.0084+{ { C }_{ { { D }_{ F } } } }\frac { { { S }_{ F } } }{ { { S }_{ W } } } +0.0078\left( 0.9 \right) \left( \frac { 43 }{ 184 }  \right) +0.0078\left( 0.9 \right) \left( \frac { 12.5 }{ 184 }  \right)  \right)  \\  & +\frac { 1 }{ 3.141592\left( 6.06 \right) \left( 0.9 \right)  } \left( { { \left( { { C }_{ { { L }_{ { { \alpha  }_{ W } } } } } }\left( { { \alpha  }_{ W } }+{ { i }_{ W } }-{ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ W } } } } \right)  \right)  }^{ 2 } }+\left( { { C }_{ { { L }_{ { { \alpha  }_{ H } } } } } }{ { \left( \left( 1-\frac { d\varepsilon  }{ d\alpha  }  \right) { { \alpha  }_{ W } }-\frac { d\varepsilon  }{ d\alpha  } \left( { { i }_{ W } }-{ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ W } } } } \right) +{ { i }_{ W } }-{ { \alpha  }_{ { { 0 }_{ H } } } }+{ { \alpha  }_{ \delta  } }{ { \delta  }_{ E } } \right)  }^{ 2 } }\frac { 6.06\left( 0.9 \right)  }{ 4\left( 0.95 \right)  } \left( 0.9 \right) \left( \frac { 43 }{ 184 }  \right)  \right)  \right)  \\  &   =(0.0084+0.0079\left( \frac{203.76}{184} \right)+0.0078\left( 0.9 \right)\left( \frac{43}{184} \right)+0.0078\left( 0.9 \right)\left( \frac{12.5}{184} \right)) \\ 
 & +\frac{1}{3.141592\left( 6.06 \right)\left( 0.9 \right)}\left( {{\left( 4.468\left( /rad \right)\left( 0+2\deg -(-4.95\deg ) \right)\left( \frac{\pi rad}{180\deg } \right) \right)}^{2}}+\left( 3.9524\left( /rad \right){{\left( \left( 0-0.56\left( 2\deg -(-4.95\deg ) \right)+2\deg -0.997\deg +0 \right)\left( \frac{\pi rad}{180\deg } \right) \right)}^{2}}\frac{6.06\left( 0.9 \right)}{4\left( 0.95 \right)}\left( 0.9 \right)\left( \frac{43}{184} \right) \right) \right) \\ 
 & =0.0193+0.0584(/rad)(0.2937rad+0.0397rad\times 0.2724) \\ 
 & =0.0193+0.0178 \\ 
 & =0.0371 \\
\end{align} \tag{184}$$

 

${{\alpha }_{W}}$는 비행기의 받음각입니다. 

비행기가 트림상태일때는 받음각이 0임으로 0으로 하였습니다.

rad과 deg의 단위환산에 주의해야합니다.

신기한 점은 openvsp로 구한 동체 항력 계수가 다른 계수들과 비슷하다는 것입니다.

완전 엉뚱한 값은 아닌것 같습니다.

 

 

$$\begin{align}  & { { C }_{ { { L }_{ Trim } } } }\triangleq \frac { mg }{ { { q }_{ \infty  } }{ { S }_{ W } } } \, \, ,\, \, \, \, { { C }_{ { { T }_{ Trim } } } }\triangleq \frac { { { T }_{ 0 } } }{ { { q }_{ \infty  } }{ { S }_{ W } } }  \\  & { { T }_{ 0 } }\sin  \left( { { \phi  }_{ T } }+{ { \alpha  }_{ 0 } } \right) \ll { { L }_{ 0 } }\, \, ,\, \, \cos  \left( { { \phi  }_{ T } }+{ { \alpha  }_{ 0 } } \right) \approx 1 \\  &  \end{align} \tag{171}$$

 

 

$$\begin{align}  & { { \alpha  }_{ Trim } }=\left( \left( { { C }_{ { { L }_{ Trim } } } }\cos { { \gamma  }_{ 0 } } -{ { C }_{ { { L }_{ \alpha =\delta ={ { i }_{ H } }=0 } } } }-{ { C }_{ { { L }_{ { { i }_{ H } } } } } }{ { i }_{ H } } \right) { { C }_{ { { M }_{ { { \delta  }_{ E } } } } } }+\left( { { C }_{ { { M }_{ _{ \alpha =\delta ={ { i }_{ H } }=0 } } } } }+{ { C }_{ { { M }_{ { { i }_{ H } } } } } }{ { i }_{ H } } \right) { { C }_{ { { L }_{ { { \delta  }_{ E } } } } } } \right) /\Delta  \\  & { { \delta  }_{ { { E }_{ Trim } } } }=\left( \left( { { C }_{ { { M }_{ \alpha =\delta ={ { i }_{ H } }=0 } } } }+{ { C }_{ { { M }_{ { { i }_{ H } } } } } }{ { i }_{ H } } \right) { { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }+\left( { { C }_{ { { L }_{ Trim } } } }\cos { { \gamma  }_{ 0 } } -{ { C }_{ { { L }_{ _{ \alpha =\delta ={ { i }_{ H } }=0 } } } } }-{ { C }_{ { { L }_{ { { i }_{ H } } } } } }{ { i }_{ H } } \right) { { C }_{ { { M }_{ \alpha  } } } } \right) /\Delta  \\  & \Delta ={ { C }_{ { { L }_{ \alpha  } } } }{ { C }_{ { { M }_{ { { \delta  }_{ E } } } } } }-{ { C }_{ { { M }_{ \alpha  } } } }{ { C }_{ { { L }_{ { { \delta  }_{ E } } } } } } \\  &  \end{align} \tag{174} \\$$

 

$$\begin{align}  & { { T }_{ 0 } }\cos  \left( { { \phi  }_{ T } }+{ { \alpha  }_{ Trim } } \right) =\left( { { C }_{ { { D }_{ \alpha =\delta ={ { i }_{ H } }=0 } } } }+{ { C }_{ { { D }_{ \alpha  } } } }{ { \alpha  }_{ Trim } }+{ { C }_{ { { D }_{ { { i }_{ H } } } } } }{ { i }_{ H } }+{ { C }_{ { { D }_{ { { \delta  }_{ E } } } } } }{ { \delta  }_{ { { E }_{ Trim } } } } \right) { { q }_{ \infty  } }{ { S }_{ W } }+mg\sin { { \gamma  }_{ 0 } }  \\  & ={ { C }_{ { { D }_{ Trim } } } }{ { q }_{ \infty  } }{ { S }_{ W } }+mg\sin { { \gamma  }_{ 0 } }  \end{align} \tag{175} \\$$

 

 식 174,175는 프로젝트 1-29에서 유도하여 식을 구했습니다. 여기서 ${ { \alpha  }_{ Trim } }$ , ${{\delta }_{{{E}_{Trim}}}}$ 값을 먼저 구하고 그값을 식 175에 대입하면 ${{T}_{0}}$를 구할 수 있습니다. ${{T}_{0}}$는 트림상태을 유지하기 위한 비행기의 추력입니다. 비행기의 추력을 알수 있다면 모터와 프로펠러를 선정할때 참고 할 수 있습니다. 

 

 먼저 식 174에서 ${{C}_{{{L}_{Trim}}}}$은 "프로젝트 1-29"의 식 171에서 정의한대로 $\frac{mg}{{{q}_{\infty }}{{S}_{W}}}$입니다. 이 식의 물리적 의미는 항공기의 무게와 양력이 같다는 것입니다. modern flight dynamics에서 navion의 무게는 2750lbs(파운드)라고 했기에 mg=2750lbs이고 q는 dynamic pressure라 하여 $\frac{1}{2}\rho {{V}^{2}}$로써 공기밀도 $\rho $ 와 항공기의 속도로 표현되어 있습니다. 나머지 각종 계수들은 이전 보고서 시리즈 글에서 다루었으니 확인하시면 됩니다. 

 

 자 우리는 비행기의 속도를 모릅니다. 여기서 좋은 방법은 대략적인 범위를 전부 넣어서 값을 구하는 것입니다. 비행기의 속도를 0에서 400 f/s까지 1간격으로 계산하여 아래 그래프로 나타냈습니다.

 

속도를 0f/s로 집어넣으니 무한대가 나와서 50f/s부터 그래프로 나타냈습니다. 이 그래프의 특징은 비행기의 속도가 낮을 때는 수평비행을 하기 위해서 $\delta_E$ 즉, 엘리베이터(=승강타)의 각도가 음의 방향으로 크고 속도가 빨라질수록 양의 각도로 이동하게 됩니다. 결과적으로 물리적의미로 접근했을때 그래프의 모양은 이론을 따르기 때문에 수식에 큰 문제는 없어 보입니다. (계산 실수는 있을 수 있지만요 ㅠ)

 

머나먼 여정에 끝이 우선 여기서 일단락 되었습니다.

이로써 우리는 자신이 설계한 비행기의 속도, 받음각, 엘리베이터 각도, 추력의 변수를 특정하여 수평비행상태의 범주를 알 수 있게 되었습니다. 최소한 비행기를 만드려면 이정도는 알고 있어야 한다고 생각합니다. 지금까지 구한 계수들이 복잡하고 지루하여 대충 건너뛰어 버린다면 우리는 영원히 그 비행기의 특징을 알 수 없을 것입니다. (실험을 많이하면 상관없긴함. 다만 일단 날아야 실험도 되기에 ... 풍동실험을 하면 해결될 문제기도 함... 다만 엄청 비싼 비용이 든다는 점)

 

수식이 많아서 너무 지루하니

다음 글에서는 NAVION 제작기를 올리도록 하겠습니다.

 

 

 

 

보고서 시리즈 출처 :  David K. Schmidt, “Modern Flight Dynamics”, McGRAW HILL, 2012 , 1~507